Exámenes de Matemáticas – Análisis Vectorial

Juan Aurelio Montero Sánchez

Parcial (18 de octubre de 2023)

1. (2.5 puntos) Sea C la curva (cerrada y simple) dada por C = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 9, x + z = 3 \} y F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 el campo vectorial F(x, y, z) = (y, z, x) \quad \forall(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 Calcúlese \int_C F \cdot dC.

2. (2.5 puntos) Si el campo F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, es de clase C^1(\mathbb{R}^3) e irrotacional, probar que entonces, dado (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3, el campo f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definido como f(x, y, z) = \int_{x_0}^x F_1(t, y, z)dt + \int_{y_0}^y F_2(x_0, t, z)dt + \int_{z_0}^z F_3(x_0, y_0, t)dt, es una función potencial para F.

3. (3 puntos) Verifíquese el Teorema de Green para el campo vectorial F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dado por F(x, y) = (x + 4y, 2x) en la región D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 3x^2 + 2y^2 < 12, y > 0 \}.

   1. (1 punto) Usando la integral doble.

   2. (2 puntos) Usando la integral de línea.

4. (2 puntos) Se corta la superficie S de \mathbb{R}^3 definida por S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 = z \} con los planos de ecuación z = 1, z = 4. Se obtiene un sólido cuya frontera la forman dos caras planas S_1 y S_2 y la superficie lateral S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z = x^2 + y^2; \; 1 \leq z \leq 4 \} Calcular el área de la superficie lateral.

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    item Se considera el conjunto $X = {1,2,3,4}$ y el conjunto $P(X)$ de partes de $X$. Se define la siguiente relación:
    
    $ARB iff sum_{x in A} x = sum_{x in B} x$
    
    begin{itemize}
    
        item Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia.
        
        item CAlcular el conjunto cociencte $P(X) / R$. Dando explícitamente las clases y sus elementos.
        
        item Si se considera la aplicación $f : P(X) / R longrightarrow mathbb{N}$ dada por $f(|A|) = sum_{x in A} x$. Estudiar si $f$ es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva y calcular $Im(f)$, $f^*({ 0,4,5 })$ y $f^*({ 13 })$.
    end{itemize}
    
    item Tenemos que resolver un total de doce relaciones de ejercicios de  Álgebra y Cálculo. En la resolución de una relación de Cálculo tardamos 15 minutos más que en una de Álgebra. Sabiendo que hemos resuelto más relaciones de Álgebra que de Cálculo y que hemos tardado 22 horas en resolverlas todas. ¿Cuántas relaciones de ejercicios hemos resuelto de cada asignatura y cuánto tiempo hemos invertido en cada una de ellas?
    
    item Se sabe que el número de estudiantes matriculados en la asignatura Álgebra I es manor que 400 y que todos se van a presentar a realizar el examen parcial. Se quiere que las aulas a usar estén completamente llenas, además se saben los siguientes supuestos:
    
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        item Si se dispusiera a los estudiantes a realizar dicho examen en aulas con 42 puestos quedarían 6 de ellos sin asiento.
        
        item Si al doble de los presentados se les dispusiese en aulas con 51 puestos quedarían 3 sin asiento.
        
        item Si 15 veces el número de estudiantes se les dispusiese en aulas de 17 puestos quedarían 14 sin asiento.
        
    end{itemize}
    
    ¿Podrías ayudar al profesor diciéndole el número de copias de examen que debería hacer para que cada estudiantes dispusiese de una y él se quedase con otra?
    
    item Calcular las unidades del anillo $mathbb{Z}_{90}$ y razonar qué tipo de elemento es en ese anillo la clase $[5]^{7^{250}} + [28][13]^{-1}$
    
end{itemize}